第367章 课题路线图 一（2/2）

……

这句话，听起来像是哲学，但在数学里，它有著深刻的含义。

徐辰转身，在白板上写下了第一行核心公式：

r(n)=#{(p，q): p+q=n， p，q素数}

“这是我们想证明的东西——把偶数n写成两个素数之和的方法数，我们想证明它永远大於零。”

“现在，每一个数学家的直觉反应，都是试图去估计它——用圆法、用筛法、用解析延拓，把这个计数函数展开成一个可以控制的渐进公式。”

“但我不打算估计它。”

徐辰停顿了一下。

“我要从底层改变它的语言。”

……

拉福格慢慢地从椅子上站了起来，走近了一步。

他隱约感觉到，接下来发生的事情，会是某种他从未见过的东西。

徐辰在白板上写下了第二行：

设 f为有理数域?上的自守形式空间，构造一个特殊的卷积算子Φ：fx f→ c

“教授，“徐辰转过身，“您知道朗兰兹纲领里，最被低估的一个工具是什么吗？”

拉福格沉吟：“阿代尔群上的卷积代数？”

“对。“徐辰点头，“传统的数论学家把阿代尔群当成一个装备工具的架子，用来承载自守形式。但没有人把它本身当成一把武器。”

“我要做的，就是把它当成武器。”

……

徐辰的笔开始在白板上快速移动，但写下的符號十分简洁，甚至有些令人不安的简洁。

他构造的核心对象，是一个作用在gl(2，a_?)——也就是全局阿代尔群的gl(2)上的卷积算子，他將其命名为“测试卷积核“，记作Φ_n。

这个Φ_n的构造很精妙：它的局部分量在每一个有限素数p处，被精確地“调音“成一个与素数p的算术性质完全共振的函数；而在无穷远处，它则被设计成一个衰减迅速的高斯型核函数。

“现在，“徐辰写下第三行，“我们计算这个算子的跡。”

tr(Φ_n)=∑_π m(π)π(Φ_n)

“左边，是几何侧——它展开后，会自动计数所有满足条件的素数对(p，q)，使得p+q=n。”

“右边，是谱侧——它是所有自守表示π对这个算子的特徵值的加权求和。”

拉福格看著这两行公式，呼吸微微一窒。

“等一下……”

他走上前，用手指指了指“左边“那个几何展开，“这个几何侧，你是如何保证它精確地计数的素数对的？”

“因为Φ_n的局部分量，“徐辰指向公式，“在每个有限素数p处被我精確构造成了素数投影算子——它只对满足p+q=n的素数对有非零贡献，对其他所有整数点的贡献，经过调和分析后恰好相消。”

拉福格沉默了几秒。

“你用局部的算术性质……控制了全局的计数。”

“是的。”

……