第44章 於星辰中铸剑！（2/2）

这……这就和『两点確定唯一一条直线』的公理矛盾了！”

她激动得脸颊通红，指著自己的推导，像个得到了果的孩子。

“所以，任意五个点，必然有至少三个点是共线的！

既然有三点共线，那它们在我们的图g里，就必然不是一个k5子图！

因为共线的点之间没有边！”

“结论：我们的图g，无k5子图！”

当她得出这个结论时，一种前所未有的，巨大而纯粹的成就感，淹没了她。

这比她过去解出任何一道难题，都要快乐！

因为这不是她一个人的胜利，这是她和许燃，两个人思想碰撞、共同铸剑的结果！

她抬起头，看向身边那个平静的少年，美眸中，水光流转，异彩涟涟。

“下一个，证明它的独立数，不大於42……”

许燃的声音没有停歇，將她从那异样的情绪中拉了回来，带入了下一个更深邃的挑战。

“这个图，只有31个顶点，独立数怎么可能大於42？”

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简瑶下意识地问，隨即反应过来，“哦，你说的是拉姆齐数r(5，5)！

我们现在构造出的这个图，它甚至连r(4，5)的反例都算不上！”

她的思维，已经被许燃彻底带到了一个全新的高度。

许燃摇了摇头。

“这个模型，只是一个玩具。

一个让我们理解『代数图论』思想的玩具。”

“但这个思想，可以推广。”

他的笔尖，在pg(2，q)的那个q上，重重一点。

“如果，我们把这个q，换成別的数字呢？

比如，q=41？

一个素数？”

“pg(2，41)……它的点数是412+41+1 = 1723个！”简瑶倒吸一口凉气。

“没错，所以简单的射影平面不够。”

许燃的目光，变得如同黑洞般深邃，“我们需要更复杂的代数结构。

比如，用『二次剩余』去定义『相邻』关係。”

他开始在草稿纸上，写下一连串简瑶闻所未闻的概念。

【佩利图p(q)】

“这又是什么？”

简瑶感觉自己像个好奇宝宝，完全被许燃牵著鼻子走，但她心甘情愿。

“一个更纯粹的代数怪物。”

许燃的眼睛里闪著光。

“它的构造更简单粗暴。取一个素数q，並且要求q模4余1。”

“图的顶点，就是有限域gf(q)里的q个元素，从0到q-1。”

“两个顶点x和y之间有没有边，只看一件事。”

他顿了顿，用红笔重重写下两个字。

“『差值』。”

“如果x-y是gf(q)里的『二次剩余』，那么它们之间就有边。

如果不是，就没有。”

“二次剩余？”

这个词简瑶知道，就是指一个数在模q的意义下，能被写成另一个数的平方。

比如在模5的意义下，1和4就是二次剩余，因为1=12=42，4=22=32。

“对。”

许燃点头，“比如，我们直接攻击r(5，5)的下界，构造一个41阶的图。

取q=41，因为它是一个素数，且41=4*10+1。”

“我们构造佩利图p(41)。”

“它的顶点，就是0， 1， 2，...， 40。”

“顶点2和顶点5之间有没有边？”许燃看向简瑶。

“5-2=3，我们需要判断3是不是模41的二次剩余……”简瑶迅速心算，却发现这並不容易。

“很难算，对吧？”

许燃笑了笑，“但数学的美妙在於，我们不需要一个一个去算。

高斯早就为我们铺好了路。”